Можно прописаться в государственой квартире если был выписан автоматически но есть все документы кроме соцзайма

С согласия собственника - администрации города.

Настя, можно при наличии разрешения собственника

Прописаться снова можно с письменного согласия всех прописанных в квартире жильцов.

Автоматически - это как? Кто сейчас зарегистрирован в квартире? Какие есть "все" документы? Перечислите их поименно.