Может ли этот сотрудник, находясь на больничном, продолжить выполнять работу по договору гражданско-правового характера

Может. Но, если кто-то пожалуется на нарушение больничного режима, он будет лишен оплаты по больничному листу.

Может, на усмотрение самого работника. Он не связан требованиями трудового законодательства, не состоит с "условным" работодателем в трудовых отношениях по смыслу требований ст. 15 ТК РФ. Только трудовые отношения предоставляют работнику гарантии, предусмотренные трудовым законодательством, такие, как недопустимость осуществления трудовой деятельности в период временной нетрудоспособности. А по обычному (не трудовому) договору, применяются общие требования гражданского законодательства о договоре, в т.ч. свобода договора (ст. 421 ГК РФ). Т.е. всё на усмотрение сторон договора в соответствии с условиями договора.