Каковы права заведующей детского сада перевести на другую должность без согласия, основываясь на частых больничных ребенка? Сможет ли это привести к увольнению?

Ни за то, ни за другое перевести не могут, уволить тоже.

Главное - сами никаких заявление о переводе не пишите и не подписывайте.

пригрозите трудовой инспекцией.

Основанием для увольнения не является частота ухода работника на больничный. Работодатель может уволить если состояние здоровья работника не соответствует занимаемой должности, и то по мед освидетельствования.

Перевести на ниже оплачиваемую должность и по другой специальности работодатель может только с письменного согласия работника. Без письменного согласия - при сокращении численности или штата, по производственной необходимости.

Т.е. в Вашем случае, заведующая детским садом поступила не законно. Обращайтесь для письменного разъяснения в трудовую инспекцию. После таких обращений Вас не должны будут трогать. А если после этого, не отстанут - обращайтесь в прокуратуру.