Можно ли лишить родительских прав, если отец мобилизован, и сколько длиться судебный процесс?

Это невозможно чисто технически в отсутствие ответчика.

Даже если Вы получите положительное для Вас решение суда, то при возвращении отца ребенка, он может с большой долей вероятности отменить решение суда первой инстанции и Вам придется в апелляции судиться фактически заново.

Для лишения прав нужны основания, при условии, что в суд не будет представлено сведения о мобилизации ответчика, а равно как предоставлено, что просто не явился.

А какое основание для лишение родительских прав отца? То что он мобилизирован?

Кристина, здравствуйте. Подать иск можно, но как у суда будут сведения о мобилизации ответчика дело приостановят до прекращения службы в ВС РФ.