Могут ли отправить учителя работать в детский лагерь во время отпуска?

Здравствуйте. Только при условии, что будет получено письменное согласие и в дальнейшем произведена дополнительная оплата.

Нет, не могут отправить в детский лагерь без согласия работника, тем более в период отпуск. Это двойное нарушение прав.