Может ли работодатель что то писать в трудовую без заключения трудового договора?

Да, может быть внесена запись.

Нет не может. Почему у вас нет трудового договора и как тогда у работодателя оказалась трудовая книжка.

Напишите в роспотребнадзор и налоговую, а можно сразу в прокуратуру, вот их вертеть будут, каким образом они вас устроили без договора.

Положениями ст. 67 ТК РФ закреплена обязанность работодателя при фактическом допущении работника к работе оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

Без трудового догора записи являются недействительными.

На руках д.б. подписанный сторонами трудовой договор на основании которого и делаются все записи в трудовую книжку.