Скажите пожалуйста если написать заявление на отпуск с последующим увольнением, надо ли отрабатывать две недели?

Нет. Сразу после отпуска (если период отпуска покрывает 2 недели отработки) выходите и увольняетесь - дни отработки считаются за счет отпускных.

Нет никакой отработки. Если подпишут такое заявление, то выйдете в отпуск, а далее Вас уволят по истечении 14 дней с момента написания заявления.

- см. ст. 80 ТК РФ.