Могу ли я прописать своего сына и внучку в незавершенной половине квартиры?

Да такое право имеете.

Нет, не имеете права. Сначала надо понять, кто является собственником второй доли и получить от него согласие. Если доля выморочная, то наследует муниципалитет, которые имеет право дать согласие на прописку.

Да, можете прописать кого угодно. Получите выписку из Росреестра, надо узнать, кто является собственником другой части квартиры.