Как снять гражданина с регистрационного учёта при потере заявления - возможные пути решения

Пожалуйтесь начальнику миграционной службы. При регистрации по новому месту жительства, гражданин снимается со старого места жительства в беззаявительном порядке.

Если у вас есть данные о новом месте жительства, то напишите заявление, о том, что бы УФМС запросил сведения о новом месте регистрации бывшего собственника. Если место регистрации по новому адресу не известно, напишите заявление письменно укажите все обстоятельства. Если не поможет, тогда через суд. Вы можете обжаловать действия УФМС, но у вас как я поняла нет доказательств, что он писал такое заявление (копия заявление, копия штампа о снятии с регистрации по старому месту и регистрации по новому). Тогда проще подать иск о признании утратившим права проживания бывшего собственника.

Но в отдел УФМС по старому месту жительства никак не поступит его заявление о снятии с регистрационного учёта

Не понятно, что там у вас происходит. Уточняйте информацию в УФМС.