Вопрос о праве бывшего мужа подарить или оставить дом в завещание родственникам при наличии прописки супруги

Нет, не может до дех пор, пока не будет признано судом. что дом не является совместной собственностью бывших супругов.

Что значит регистрация дома? Право собственности вновь построенного объекта? Теоретически, завещать может однозначно (при наличии тайны завещания), а вот оформить дарение может только с нарушением закона (но это возможно, при невнимательности должностных лиц Росреестра). Рекомендую обратиться в Росреестр с заявлением о запрете совершения сделок с домом и наличии спора о праве, это обязательно, а по желанию- обратиться в суд с иском о разделе совместно нажитого имущества. При оформлении дома на третьих лиц они смогут к Вам обратиться с иском о выселении.