Может ли организация отказаться дать письменный отказ на мой запрос о выдаче дубликата документа? И что тогда?

тогда -жалобу в прокуратуру

если это не ваш работодатель - могут отказать

если - работодатель (пусть и бывший) отказать не имеют право - пишите только официальный запрос - ст. 62 ТК

обратитесь в прокуратуру с письменным заявлением