Может ли отец добровольно отказаться от родительских прав? Что для этого нужно?

нет не может, ребенок это не котенок. семейным законодательством это не предусмотрено

Нет. Но Вы можете подать на него иск в суд о лишении родительских прав, а он может признать его.