Записи в трудовую книжку, которая находится в ВУЗе, о работе по совместительству не делались.

В соответствии со ст. 16 Трудового кодекса РФ трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора в результате фактического допущения к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя независимо от того, был ли трудовой договор надлежащим образом оформлен.

В соответствии со ст. 66 Трудового кодекса РФ работодатель (за исключением работодателей - физических лиц) обязан вести трудовые книжки на каждого работника, проработавшего в организации свыше пяти дней, в случае, если работа в этой организации является для работника основной.

По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.

Таким образом, на данного работника следует издать приказ о приеме его на работу по совместительству и оформить трудовой договор (в трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством) датой, не позднее чем через 5 дней после фактического приступления его к работе, а при переводе издать новый приказ о переводе на постоянную работу и сделать соответствующую запись в трудовую книжку.