Выделится ли доля недееспособному родственнику, проживающему в доме престарелых, при вступлении в силу завещания, где наследником является внук?

Только после оспаривания завещания в суде

Если этот наследник обратиться к нотариусу, без него нотариус ничего не будет выделять.

Зависит от того, кем Вам приходится недееспособный родственник

Если нотариус установит данного наследника (инвалида),то естественно выделит обязательную долю, без обращения в суд.,это обязанность нотариуса.