Может ли банк требовать от кассиров открывать банковские карты и делать страховки для родственников?

Нет не имеют права вас заставлять это делать. Скорее всего это ваше руководство хочет за ваш счёт увеличить себе мнимые рейтинги. Обратитесь на горячую линию вашего банка или к начальнику управления, или в службу безопасности банка.