Может ли директор организации привлечь работника (инспектора отдела кадров)

К административной ответственности привлечь не может, т.к. это может сделать только суд на основании ст. 23.1 КоАП РФ, а вот привлечение к дисциплинарной ответственности, предусмотренной Трудовым кодексом, возможно.