И может ли пенсионный фонд с меня требовать переплаченную ими сумму?
Любая организация обязана выплачивать физ. лицам "белые деньги", т.е. предварительно произвести все платежи куда следует. Для этого у Вас СНИЛС и взяли.
Как только Вам пришел доход за выполненную РАБОТУ, Вы потеряли право на компенсацию по уходу. А возобновляется она по заявлению. Т.е. у ПФ основание для прекращения по одному месяцу есть, а нового заявления на возобновление компенсации, т.к. месяц поработали и больше не работаете, нет. Вот Вам и набежала переплата в 8000.
Идите к местным юристам. Доводите дело до суда и расписывайтесь только под одним месяцем переплаты. Одновременно решая вопрос с банком. На основании чего они выдают справку, что Вы работаете постоянно. Ведь заявления о приеме на работу от Вас нет. Наверное. А вообще, все не в Вашу пользу.