Можно ли пройти профосмотр после устройства на госслужбу? Влияет ли прописка на то, в какой поликлинике проходить?

вы должны проходить только в поликлинике по месту регистрации.

Да, влияет. Однако если Вы прописаны в регионе, проживаете в Москве, то необходимо прикрепиться к поликлинике по месту проживания. Иногда, организация сама указывает, в каком мед.учреждении необходимо пройти осмотр.