Могут на меня наложить штраф, если я отказываюсь косить траву на прилегающей территории?

Нет- штрафа за это не предусмотрено.

местная администрация видимо за неимением средств в бюджете на уход за территорией образования ходит и пугает жильцов штрафами)

не переживайте, штрафа нет.