Ответьте пожалуйста, существует ли срок давности для регистрации права собственности по договору дарения?

Нет, не существует.

Право у нового собственника не возникнет пока Вы не зарегистрируете его в Россреестре.

Когда подписали договор дарения (дата)?

В данном случае обратитесь в Росреестр для регистрации. В случае отказа необходимо будет в судебном порядке устанавливать право собственности.

А тот, кто подарил, жив-здоров, живёт там же, где и Вы и собственность?

Спасибо, Евгения Сергеевна! Договор дарения подписан в декабре 1998г.