Как получить отпускные за прошлый год, если мама работала по трудовому договору, но не была официально устроена?

обращайтесь в суд

Статья 16 Трудового Кодекса РФ. Основания возникновения трудовых отношений

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.