Скажите, нужно ли нотариально заверять расписку при внесении предоплаты при покупке квартиры.

Нет в этом нет необходимости. Но если сумма более 100 тыс. рублей можно оформить передаточный акт денежных средств и в конце него предусмотреть место для расписки.