Должна ли я подписывать договор о полной материальной ответственности если я не проведена официально?

Нет, не должны.

Договор о материальной ответственности заключается между РАБОТОДАТЕЛЕМ И РАБОТНИКОМ. Если он будет заключен с "человеком с улицы" - то это не договор, а "филькина грамота"