По месту новой регистрации в паспортном столе вы заполняете заявление и сдаете свой паспорт. Заявление также заполняет и собственник квартиры, давая согласие не ваше вселение. УФМС самостоятельно снимут вас с прежнего места жительства, дополнительно никуда ходить не надо.