Экспертизу необходимо будет оплатить Вам, но если она подтвердит отцовство, то расходы на ее проведение взыщут с отца. Возможно, подача иска одновременно с требованием об установлении отцовства и взыскании алиментов, но сначала подлежат рассмотрению первое требование.