Может ли врач скорой зафиксировать побои.

Может, а также дополнительно обратитесь в травмпункт.

Не просто может, но и должен составить отчет о причинах вызова и оказанной первой мед.помощи.

Но для правильной фиксации телесных повреждений, все таки лучше обратиться к врачу травматологу, т.е. в травмпункт.

Удачи!