Исправление фамилии в трудовой книжке при смене фамилии в связи с вступлением в брак - нужно ли обратиться к следующему работодателю?

На момент смены фамилии (в связи со вступлением в брак) я работала в одной компании по трудовой книжке. Трудовая была на старую фамилию. Потом из этой компании уволилась, и мне сказали, что фамилию на новую должен исправить следующий работодатель. Верно ли это? и как правильно нужно исправлять? В организации, где работаю сейчас, подобными вопросами занимается бухгалтер, но она тоже не в курсе таких тонкостей.