Скажите пожалуйста, может ли гражданская жена претендовать на наследство мужа? Спасибо.

Нет, по закону не может. Только если есть завещание.

здравствуйте! если муж напишет завещание в пользу гражданской жены.

Такого понятия как "гражданская жена" нету. Если жена, то может претендовать, если сожитель, то без завещания - нет.