Можно ли прописывать жену с ребенком в строящемся частном доме? И есть ли какие то критерии достроен дом или нет?

пока дом не введен в эксплуатацию, он не может признаваться местом жительства гражданина (пока это лишь объект незавершенного строительства, а не жилой дом), следовательно регистрация по месту жительства в недостроенном доме осуществляться не должна.