Как правильно обратиться в суд - с исковым заявлением о признании наследства или с заявлением об установлении факта, если нотариус отказывается открыть наследственное дело из-за неправильного оформления имущества насл

Если фактически приняли наследство, то об установлении факта принятия нследства обращайтесь и одновременно ствьте вопрос о признании права собственности на этой наследство.

Изначально надо понять - было ли фактическое принятие, но если нотариус отказал, то видимо в вашем случае идет речь о восстановлении срока, что хуже всего

Следует обратиться с иском о признании права собственности

Если есть спор о праве, а судя по отсутствию зарегистрированного права, спор есть, то это исковое заявление о признании права собственности. Кроме того и другие требования в иске нужно формулировать в зависимости от обстоятельств. Вы не указали. как именно наследодатель получил квартиру. При необходимости обращайтесь, это моя основная специализация