Оплачивает ли страховая компания ОСАГО ущерб хозяину забора.

Нет, выплата будет производится через суд с причинителя вреда

конечно оплатит, в противном случае в суд. ст. 1 ФЗ об ОСАГО: "потерпевший - лицо, жизни, здоровью или имуществу которого был причинен вред при использовании транспортного средства иным лицом."