Возможно ли отвоевать часть квартиры при разводе, в которую вложены деньги родителей и которая была украдена свекровью по документам, если в ней проживаем уже 10 лет с мужем и детьми?

В случае развода свекровь вас скорее всего выпишет через суд.

Нужны письменные доказательства того, что оформленная на свекровь квартира была приобретена именно на те деньги, что были подарены супругам (например, на свадьбу), что в период брака именно супругами были произведены вложения в это имущество, увеличившие его стоимость.

Если таких, письменных, доказательств (договоров, расписок, чеков, квитанций, выписок с банковских счетов и т.п.) нет, то сделать в этом случае вряд ли что-то удастся.

Прописка ваша, равно как и ваших детей, в спорной квартире на возникновение права собственности не влияет.