Может ли директор учреждения назначить учителя классным руководителем без согласия?

Классный руководитель назначается с согласия педагогического работника приказом руководителя общеобразовательного учреждения по представлению заместителя директора по воспитательной работе.

Имеет ли право директор муниципального автономного образовательного учреждения назначить меня, учителя-предметника, классным руководителем без моего согласия?

По Закону не может.

Изменять Вашу трудовую функцию без Вашего согласия нельзя (ст. 72 Трудового кодекса РФ)

Здравствуйте, Галина Николаевна!

Нет, не имеет согласно ТК РФ - ваша трудовая функция указана в трудовом договоре.

директор отвечает за организацию процесса обучения, т.е. он решает кому, какие и сколько часов дать, какие кабинеты за кем закрепить, как поделить надтарифный фонд и т.п. Все указания с вышестоящих инстанция носят исключительно рекомендательный характер". Если пойдете через суд, то вы вряд ли нормативно сможете обосновать свою позицию