Какой вид: частный детсад, центр по уходу за детьми, семейный сад или др. можно открыть без ИП, ООО и т.п. в квартире.

Если это частный детский сад - необходима регистрация ИП или некоммерческой организации.

Если это центр кратковременного пребывания - можно ООО.

Но без ИП, ООО, либо НОУ работать нельзя.