Могут ли я, мой сын и дочь претендовать на часть имущества, если мы не являемся собственниками, но проживаем в квартире уже 10 лет и ее собственник - мой зять?

Если в приватизации не участвовали, то нет. Регистрация по месту жительства не дает право претендовать на часть собственности.

Здравствуйте! Регистрация сама по себе права собственности не дает и не порождает. Но если за эти 10 лет вами были произведены значительные неотделимые улучшения недвижимости (капитальный ремонт например), и вы сможете это документально доказать, то возможно в судебном порядке требовать доли, или соразмерной компенсации.