Имею ли я право достраивать свою часть дома после развода поделенную по суду. Как правильно это начать делать?

Да так как это Ваша часть по суду.

Если доля выделена в натуре, то безусловно спокойно стройте. Если судом определена доля в общем домовладении без выдела, то увеличивая общую площадь домовладения, Вы соответственно увеличиваете и долю супруги.