Сын 13 лет хочет жить, и живет с бабушкой, а меня поставили на учет за это. Разве так можно?

Там скорее вопрос не в месте проживания ребенка.а в том, что возможно кто-то обратился из образовательного учреждения, (возможно из-за каких-то проблем в школе), сведя все к банальному "ненадлежащему исполнению Вами родительских обязанностей". Так что, если не все в ажуре в школе, то действия вполне законные. У нас в соответствии с Гражданским Кодексом местом жительства несовершеннолетних детей является место жительства их родителей. Хотя в жизни, если все замечательно, то можно иной раз пожить и у бабушки с дедушкой.