Что делать работнику, если в отсутствие генерального директора и отсутствии доверенности на подписание кадровых приказов нет ответственного за ведение трудовых книжек, а срок увольнения подошел

Подавать претензию работодателю. Если работник отработал положенное, то это уже не его проблемы в отпуске ли генеральный, и есть ли доверенность у исполнительного. Трудовая в любом случае у кого то хранится, он и является по идее ответственным за неё. А потом подавать в суд и взыскивать проценты за просрочку расчёта и моральный ущерб.