Может ли дополнительное соглашение к срочному трудовому договору, который уже истёк, стать вторым трудовым договором.

Нет, не может...так как это соглашение к определенному договору, а не самостоятельный договор.

Здравствуйте!

Нет.НО

Если работник продолжает осуществлять свои трудовые обязанности, а работодатель не прекращает с ним трудовые отношения,то заключенный срочный трудовой договор, приобретают бессрочный характер.