Мне нужно временно прописаться в квартире моей мамы. Как это сделать? Нужно ли сначала выписаться?

Нет не нужно. Вы можете встать на регистрационный учет по месту пребывания (то, что Вы называете "временной пропиской"), не снимаясь с учета по месту жительства. Для этого необходимо подать заявление о такой регистрации, подписанное Вами и собственником (нанимателем) жилого помещения.