Легальность временной регистрации бывшего мужа второй женщины и ее ребенка в нашем доме в долевой собственности

Написано немного сумбурно, но постараюсь ответить. Во-первых, бывший муж признал ребёнка своим. Следовательно, для его вселения и регистрации по месту жительства (по-видимому, именно это Вы хотели сказать, используя термин советского периода "прописал") он не обязан спрашивать чьего-то разрешения. Во-вторых, он выгоняет Вас из дому и заселяет туда молодую жену со вторым сыном. Если дом реально разделён (а не просто на бумаге определены ваши доли без реального раздела) и бывший супруг выгнал Вас именно со своей доли и заселил именно туда другую женщину с другим ребёнком, то тут к нему претензий нет. Если же дом не разделён, то с его действиями можно поспорить. Самое лучшее в Вашем случае - реально разделить дом (если есть такая возможность) и пользоваться своей долей (т. е. оборудовать свой вход и исключить места общего пользования - коридоры, кухню, санузел и т. д.).