Может ли школа принимать подпись законного представителя вместо родителя при записи в кружок?

Законный представитель - это и родитель.

С уважением.

Здравствуйте! Не у всех детей есть родители , это универсальная форма

в договоре все правильно написано

Как родитель Вы - законный представитель. Все правильно.

Т.е. Вы не представитель по доверенности, Вы представитель в силу закона.

Нина Николаевна, это не является со стороны школы нарушением

Законный представитель – это общее понятие. Это родители, усыновители, опекуны, попечители или иные лица, которым это право предоставлено федеральным законом (статья 52 ГПК РФ). Все они вправе подписывать договор. Таким образом, школа ничего не нарушает.

Это одно и то же в общем случае.