Кто будет нести ответственность за здоровье работника в случае отправки его в очаг туберкулёза без официального трудоустройства?

Если сотрудник официально не трудоустроен, то работодателя у него нет.

При отсутствии трудового договора трудовые отношения могут быть установлены лишь в судебном порядке и только после этого будет возможность получения выплат по вреду здоровью, компенсации за работу с спецконтингентом, по вашему вопросу, ответ прост: вы по своей инициативе поехали и последствиях кроме вас никто не виноват, так что прежде чем ехать заелючите договор

Зачем сотрудник работает там, где он не трудоустроен?