По ст. 6.1 ГПК РФ - любое заинтересованное лицо. Не обязательно только истец.

Может ответчик написать такое заявление, это его право

Заявление об ускорении председатель должен рассмотреть в течение пяти дней.

Здравствуйте, не обязательно это должен быть истец, любое заинтересованное лицо может подать заявление Председателю суда. На основании ст. 6.1 ГПК РФ устанавливает разумные сроки судопроизводства и исполнения судебного постановления.

В случае, если после принятия искового заявления или заявления к производству дело длительное время не рассматривалось и судебный процесс затягивался, заинтересованные лица вправе обратиться к председателю суда с заявлением об ускорении рассмотрения дела.

Заявление об ускорении рассмотрения дела рассматривается председателем суда в пятидневный срок со дня поступления заявления в суд. По результатам рассмотрения заявления председатель суда выносит мотивированное определение.