Можно ли не отработать 2 недели по трудовому договору?

Если на такие условия согласен работодатель, то да.

Можно. Если на испытательном сроке , то не 2 недели, а 3 дня.

Нет - если это просто ваша прихоть. Да - если есть объективные причины.

Да, по договорённости между сотрудником и работодателем можно уволиться в день, когда сотрудник написал заявление об увольнении.

По соглашению сторон, в случае ухода в отпуск с последующим увольнением и при увольнении по уважительной причине (например, при уходе в отпуск).