Какие обязанности установлены администрациям всех уровней власти РФ по ведению книг учёта исковых заявлений с постановкой штампа?

Этот НПА существует только в вашей фантазии.

Это вы из любопытства задаёте или ответ на этот вопрос может иметь для вас практическое значение? Вопрос очень странный переформулируйте его пожалуйста.

Приказ Судебного департамента при Верховном Суде РФ от 15 декабря 2004 г. № 161 утверждает Инструкцию по судебному делопроизводству в верховных судах республик, краевых и областных судах, судах городов федерального значения, судах автономной области и автономных округов. 

Согласно этой инструкции, все поступающие в суд от граждан и организаций предложения, заявления и жалобы регистрируются в журнале или базе данных автоматизированного учёта. Дубликаты, повторные, а также дополнительные обращения регистрируются под тем же номером, что и первоначально поступившее обращение, также с указанием даты их поступления. 

Таким образом, обязанность вести книги учёта поданных в суд исковых заявлений и административных исковых заявлений с постановкой штампа этих администраций с указанием исходящего номера и даты изготовления может быть установлена различными нормативными актами в зависимости от уровня власти.