Обжалование решения о месте жительства ребенка - возможность подать возражение или встречный иск

Не можно, а нужно подать возражения с заслуживающими внимания доводами и фактами

Мотивированные письменные возражения по заявленным исковым требованиям.

Вам вообще необходимо подавать возражение

Здравствуйте, Наталья!

Нужно даже это сделать. Для анализа ситуации, определения перспектив и подготовки письменных возражений на исковое заявление, Вы можете обратиться к избранному Вами на данном сайте юристу лично на платной основе (ст. 779 ГК РФ).