Могу ли я подать жалобу на эту организаию и как правильно это сделать?
Сходите в трудовую инспекцию. Там вам все объяснят как написать, сами проверку проведут на предприятии. А то, что документы не оформлены, подтверждающие трудовые отношения, то это вина работодателя.
Вам следует в течение месяца после увольнения обратиться в суд за признанием трудовых отношений с работодателем, восстановлением на работе и взысканием заработной платы за время вынужденного прогула.
Можете, конечно, написать жалобу в Государственную инспекцию труда (пишется в произвольной форме), но, вероятнее всего, получите отписку с рекомендацией обращения в суд, а работодатель, в лучшем случае, будет оштрафован на минимальную сумму. При этом жаловаться в ГИТ Вы можете только на нарушения именно Ваших трудовых прав - нарушения чужих прав по заявлению работника не рассматриваются.