Может ли родитель в детском саду снимать на видео чужих детей?

Нет, не может.

Гражданский кодекс (статья 152.1) охраняет изображения частных лиц.

Изображение человека – что нельзя https://www.9111.ru/questions/7777777772832235/

Добрый день.

Если внутренними правилами образовательной организации это не запрещено, то формально может. Распространять эту запись он не имеет права.

Может, однако публиковать ему это видео запрещено, за исключением случаев, указанных в ст.152.1 ГК РФ