Возможно ли подать заявление на моральный ущерб против организации, удерживавшей с пенсии незаконные платежи за несуществующую задолженность по квартплате?

Необходимо общаться в суд с исковым заявлением.

Моральный вред ст 151 ГК РФ взыскивается только по решению суда Чтобы взыскать моральный вред вы в суде согласно статьи 56 ГПК РФ должны доказать какие конкретно моральные или физические страдания вы испытывали от незаконного удержания

Подавайте иск в суд в порядке ст. 131-132 ГПК РФ.